सुनहरा अनुपात एक ऐसा अनुपात है जिसे प्राचीन काल से सबसे उत्तम और सामंजस्यपूर्ण माना गया है। यह कई प्राचीन संरचनाओं का आधार है, मूर्तियों से लेकर मंदिरों तक, और प्रकृति में बहुत सामान्य है। साथ ही, यह अनुपात आश्चर्यजनक रूप से सुरुचिपूर्ण गणितीय निर्माणों में व्यक्त किया गया है।
निर्देश
चरण 1
सुनहरे अनुपात को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: यह एक खंड का दो भागों में ऐसा विभाजन है कि छोटा हिस्सा बड़े हिस्से को उसी तरह संदर्भित करता है जैसे बड़ा हिस्सा पूरे खंड को संदर्भित करता है।
चरण 2
यदि पूरे खंड की लंबाई 1 के रूप में ली जाती है और बड़े हिस्से की लंबाई x के रूप में ली जाती है, तो वांछित अनुपात समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाएगा:
(१ - एक्स) / एक्स = एक्स / १।
अनुपात के दोनों पक्षों को x से गुणा करने और पदों को स्थानांतरित करने पर, हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:
एक्स ^ 2 + एक्स - 1 = 0।
चरण 3
समीकरण की दो वास्तविक जड़ें हैं, जिनमें से हम स्वाभाविक रूप से केवल सकारात्मक में रुचि रखते हैं। यह (√5 - 1) / 2 के बराबर है, जो लगभग 0, 618 के बराबर है। यह संख्या सुनहरे अनुपात को व्यक्त करती है। गणित में, इसे अक्सर अक्षर से दर्शाया जाता है।
चरण 4
संख्या में कई उल्लेखनीय गणितीय गुण हैं। उदाहरण के लिए, मूल समीकरण से भी यह देखा जाता है कि 1 / = φ + 1. दरअसल, 1 / (0, 618) = 1, 618।
चरण 5
सुनहरे अनुपात की गणना करने का दूसरा तरीका अनंत अंश का उपयोग करना है। किसी भी मनमाने x से शुरू करके, आप क्रमिक रूप से भिन्न बना सकते हैं:
एक्स
1 / (एक्स + 1)
१ / (१ / (एक्स + १) + १)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
आदि।
चरण 6
गणना की सुविधा के लिए, इस अंश को एक पुनरावृत्त प्रक्रिया के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसमें अगले चरण की गणना करने के लिए, आपको पिछले चरण के परिणाम में एक जोड़ना होगा और परिणामी संख्या से एक को विभाजित करना होगा। दूसरे शब्दों में:
x0 = x
एक्स (एन + 1) = 1 / (एक्सएन + 1)।
यह प्रक्रिया अभिसरण करती है, और इसकी सीमा φ + 1 है।
चरण 7
यदि हम व्युत्क्रम की गणना को वर्गमूल के निष्कर्षण से प्रतिस्थापित करते हैं, अर्थात, हम एक पुनरावृत्त लूप करते हैं:
x0 = x
एक्स (एन + 1) = √ (एक्सएन + 1), तब परिणाम अपरिवर्तित रहेगा: प्रारंभ में चुने गए x की परवाह किए बिना, पुनरावृत्तियों को + 1 मान में परिवर्तित कर दिया जाता है।
चरण 8
ज्यामितीय रूप से, एक नियमित पेंटागन का उपयोग करके सुनहरे अनुपात का निर्माण किया जा सकता है। यदि हम इसमें दो प्रतिच्छेदी विकर्ण खींचते हैं, तो उनमें से प्रत्येक दूसरे को कड़ाई से सुनहरे अनुपात में विभाजित करेगा। किंवदंती के अनुसार, यह अवलोकन पाइथागोरस का है, जो पाए गए पैटर्न से इतना हैरान था कि उसने सही पांच-बिंदु वाले तारे (पेंटाग्राम) को एक पवित्र दिव्य प्रतीक माना।
चरण 9
किसी व्यक्ति को सबसे अधिक सामंजस्यपूर्ण लगने वाला सुनहरा अनुपात अज्ञात क्यों है। हालांकि, प्रयोगों ने बार-बार पुष्टि की है कि जिन विषयों को खंड को दो असमान भागों में विभाजित करने का निर्देश दिया गया था, वे इसे सुनहरे अनुपात के बहुत करीब अनुपात में करते हैं।
